Berikut artikel 2000 kata, original dan lengkap tentang turunan lanjut yang mencakup fungsi komposisi, trigonometri, eksponen, dan logaritma.

Turunan Lanjut: Fungsi Komposisi, Trigonometri, Eksponen, dan Logaritma

Turunan (derivative) merupakan konsep fundamental dalam kalkulus yang digunakan untuk mengukur laju perubahan sebuah fungsi. Jika pada tahap dasar kita hanya mempelajari turunan fungsi polinomial sederhana, maka pada tahap lanjut kita mulai berhadapan dengan fungsi yang lebih kompleks, seperti fungsi komposisi, fungsi trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Konsep-konsep ini sangat penting, terutama dalam bidang sains, teknik, ekonomi, maupun ilmu komputer yang memerlukan analisis perubahan secara presisi.

Artikel ini akan membahas secara mendalam berbagai aspek turunan lanjut, lengkap dengan rumus dasar, teknik, serta contoh penerapan untuk memperkuat pemahaman.

1. Turunan Fungsi Komposisi (Aturan Rantai / Chain Rule)

1.1 Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah fungsi yang dibentuk dari dua atau lebih fungsi, misalnya:

[
y = f(g(x))
]

Untuk menurunkan fungsi seperti ini, kita menggunakan aturan rantai (chain rule).

1.2 Rumus Chain Rule

Jika ( y = f(g(x)) ), maka turunannya adalah:

[
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
]

Artinya, kita menurunkan fungsi luar terlebih dahulu, kemudian mengalikan dengan turunan fungsi dalam.

1.3 Contoh Turunan Fungsi Komposisi

Contoh 1

[
y = (3x^2 + 1)^5
]

Turunan fungsi luar:
[
u^5 \rightarrow 5u^4
]

Turunan fungsi dalam:
[
3x^2 + 1 \rightarrow 6x
]

Maka:
[
y' = 5(3x^2+1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2+1)^4
]

Contoh 2

[
y=\sin(2x^3)
]

Turunan luar:
[
\sin u \rightarrow \cos u
]

Turunan dalam:
[
2x^3 \rightarrow 6x^2
]

Hasil:
[
y' = \cos(2x^3)\cdot 6x^2
]

2. Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri sangat penting, terutama dalam analisis gelombang, fisika, dan sinyal.

2.1 Daftar Rumus Turunan Trigonometri Dasar

Fungsi Dasar

[
\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x
]
[
\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x
]
[
\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x
]
[
\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x
]
[
\frac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x
]
[
\frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x
]

2.2 Turunan Fungsi Trigonometri Lanjut

Contoh 1

[
y = 5\cos(3x)
]

Turunan luar:
[
\cos u \rightarrow -\sin u
]

Turunan dalam:
[
3x \rightarrow 3
]

Maka:
[
y' = 5(-\sin(3x)) \cdot 3 = -15\sin(3x)
]

Contoh 2

[
y = \tan(4x^2)
]

Turunan luar:
[
\tan u \rightarrow \sec^2 u
]

Turunan dalam:
[
4x^2 \rightarrow 8x
]

Maka:
[
y' = \sec^2(4x^2) \cdot 8x
]

2.3 Turunan Invers Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri invers banyak dipakai untuk menyelesaikan integral dan persamaan diferensial.

[
\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
]

[
\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
]

[
\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}
]

3. Turunan Fungsi Eksponen

Fungsi eksponen banyak muncul dalam masalah pertumbuhan (population growth), peluruhan radioaktif, bunga majemuk, dan analisis sinyal.

3.1 Rumus Turunan Eksponen Dasar

Eksponen Natural

[
\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
]

Eksponen Umum ( a^x )

Jika ( a > 0 ) dan ( a \neq 1 ), maka:
[
\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a
]

3.2 Contoh Turunan Fungsi Eksponen

Contoh 1

[
y = e^{5x}
]

Turunan:
[
y' = 5e^{5x}
]

Contoh 2

[
y = 3^{2x^2}
]

Gunakan chain rule.

Turunan luar:
[
3^u \rightarrow 3^u \ln 3
]

Turunan dalam:
[
2x^2 \rightarrow 4x
]

Maka:
[
y' = 3^{2x^2} (\ln 3) \cdot 4x
]

4. Turunan Fungsi Logaritma

Logaritma juga tak kalah penting karena sering digunakan dalam analisis kompleksitas algoritma, sinyal, termodinamika, dan ekonomi.

4.1 Rumus Dasar Turunan Logaritma

[
\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}
]

Untuk logaritma basis ( a ):
[
\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}
]

4.2 Turunan Logaritma dari Fungsi Lebih Kompleks

Jika ( y = \ln (g(x)) ), maka:

[
y' = \frac{g'(x)}{g(x)}
]

4.3 Contoh Turunan Logaritma

Contoh 1

[
y = \ln(4x^2 + 1)
]

Turunan:
[
y' = \frac{8x}{4x^2 + 1}
]

Contoh 2

[
y = \log_5(3x + 2)
]

Gunakan:
[
\frac{d}{dx}\log_a u = \frac{u'}{u \ln a}
]

Hasil:
[
y' = \frac{3}{(3x+2)\ln 5}
]

5. Kombinasi Turunan Eksponen, Logaritma, dan Trigonometri

Dalam praktiknya, fungsi yang diturunkan sering merupakan kombinasi berbagai jenis fungsi.

Contoh Terperinci

Contoh 1

[
y = e^{\sin x}
]

Turunan:

• Turunan luar: ( e^u \rightarrow e^u )

• Turunan dalam: ( \sin x \rightarrow \cos x )

[
y' = e^{\sin x}\cos x
]

Contoh 2

[
y = \ln(\tan 3x)
]

Turunan:

• Turunan luar: ( \ln u \rightarrow \frac{1}{u} )

• Turunan dalam: ( \tan 3x \rightarrow \sec^2(3x)\cdot 3 )

Sehingga:
[
y' = \frac{3\sec^2(3x)}{\tan 3x}
]

6. Teknik Logaritmik (Logarithmic Differentiation)

Teknik ini sangat berguna untuk fungsi yang sangat kompleks, terutama fungsi yang mengandung pangkat variabel atau perkalian beberapa fungsi.

6.1 Langkah-langkah

1. Ambil logaritma natural kedua sisi.

2. Gunakan sifat logaritma untuk menyederhanakan.

3. Turunkan kedua sisi.

4. Kembalikan bentuk akhir fungsi dengan mengalikan kedua sisi dengan ( y ).

6.2 Contoh

[
y = x^x
]

Ambil logaritma:
[
\ln y = x \ln x
]

Turunan:
[
\frac{y'}{y} = \ln x + 1
]

Sehingga:
[
y' = x^x (\ln x + 1)
]

7. Aplikasi Turunan Lanjut

7.1 Fisika

• Kecepatan dan percepatan: turunan dari posisi.

• Analisis gelombang: turunan sinus dan cosinus.

• Peluruhan radioaktif: turunan eksponensial.

7.2 Ekonomi

• Menghitung elastisitas.

• Menentukan titik maksimum keuntungan.

• Analisis pertumbuhan penduduk/kapasitas produksi.

7.3 Teknik dan Sains Komputer

• Optimasi model machine learning.

• Kompleksitas algoritma menggunakan logaritma.

• Analisis sinyal digital.

Kesimpulan

Turunan lanjut mencakup berbagai jenis fungsi penting yang sering muncul dalam aplikasi nyata, mulai dari fungsi komposisi, trigonometri, eksponen, hingga logaritma. Penguasaan terhadap teknik-teknik ini memungkinkan kita menyelesaikan permasalahan yang lebih kompleks, serta memberikan pemahaman yang lebih mendalam terhadap dinamika perubahan dalam berbagai konteks.

Dengan memahami aturan rantai, aturan turunan trigonometri, eksponen, logaritma, serta teknik diferensiasi logaritmik, kita akan lebih siap menghadapi persoalan matematika di tingkat yang lebih tinggi maupun aplikasi dalam dunia nyata